Muster spirale

Um einen Einblick in die Frage zu erhalten, warum einige der verbleibenden ungeraden Diagonalen eine höhere Konzentration von Primungen haben können als andere, betrachten Sie 4 n 2 + 6 n + 1 “Anzeigestil” 4n{2} +6n+1″ und 4 n 2 + 6 n + 5 “Anzeigestil” 4n{2} +6n+5″ . Berechnen Sie Reste bei Division durch 3, da n aufeinanderfolgende Werte 0, 1, 2, …. Für das erste dieser Polynome ist die Reihenfolge der Reste 1, 2, 2, 1, 2, 2, …, während für den zweiten 2, 0, 0, 2, 0, 0, …. Dies impliziert, dass in der Abfolge der Werte, die vom zweiten Polynom genommen werden, zwei von drei durch 3 teilbar sind, und daher sicherlich nicht prim, während in der Abfolge der Werte, die vom ersten Polynom genommen werden, keiner durch 3 teilbar ist. So erscheint es plausibel, dass das erste Polynom Werte mit einer höheren Dichte von Primläen erzeugen wird als das zweite. Zumindest gibt diese Beobachtung wenig Grund zu der Annahme, dass die entsprechenden Diagonalen mit Primierungen gleich dicht sein werden. Man sollte natürlich die Teilbarkeit nach anderen Primläen als 3 betrachten. Untersuchung der Teilbarkeit durch 5, Reste bei Teilung durch 15 Wiederholung mit Muster 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 für das erste Polynom und mit Muster 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 für die zweite, was bedeutet, dass nur drei von 15 Werten in der zweiten Sequenz potenziell prim sind (weder durch 3 noch durch 5) , während 12 von 15 Werten in der ersten Sequenz potenziell prim sind (da nur drei durch 5 und keiner durch 3 teilbar sind). In der Abbildung scheinen sich die Primzahlen entlang bestimmter diagonaler Linien zu konzentrieren. In der oben gezeigten 200-200-Ulam-Spirale sind diagonale Linien deutlich sichtbar, was bestätigt, dass das Muster weitergeht. Horizontale und vertikale Linien mit einer hohen Dichte von Primzahl, obwohl weniger prominent, sind auch offensichtlich. Meistens wird die Zahlenspirale mit der Zahl 1 in der Mitte gestartet, aber es ist möglich, mit einer beliebigen Zahl zu beginnen, und die gleiche Konzentration von Primzahlen entlang diagonaler, horizontaler und vertikaler Linien wird beobachtet.

Beginnend mit 41 in der Mitte gibt eine Diagonale mit einer ununterbrochenen Zeichenfolge von 40 Primzahlen (ab 1523 südwestlich des Ursprungs, abnehmend auf 41 am Ursprung, und steigt auf 1601 nordöstlich des Ursprungs), das längste Beispiel seiner Art. [5] Bei einer Zahl n als Größe der Matrix besteht die Aufgabe darin, ein Spiralmuster im 2D-Array der Größe n zu drucken. Das Studium von Spiralen in der Natur hat eine lange Geschichte. Christopher Wren beobachtete, dass viele Granaten eine logarithmische Spirale bilden; Jan Swammerdam beobachtete die gemeinsamen mathematischen Eigenschaften einer breiten Palette von Schalen von Helix bis Spirula; und Henry Nottidge Moseley beschrieb die Mathematik der Einventilschalen.

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